6. Для функции $$ f(x) = 3x^2 - 4x + 2 $$ найдите первообразную $$ F(x) $$, если известно, что $$ F(-2) = -4 $$

Решение:

1. Общий вид первообразной для функции $$ f(x) $$ находится путём интегрирования:
2. \( F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx \)
3. \( F(x) = 3 \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + 2x + C \)
4. \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + C \)
5. Теперь используем условие \( F(-2) = -4 \) для нахождения константы \( C \):
6. \( (-2)^3 - 2(-2)^2 + 2(-2) + C = -4 \)
7. \( -8 - 2(4) - 4 + C = -4 \)
8. \( -8 - 8 - 4 + C = -4 \)
9. \( -20 + C = -4 \)
10. \( C = -4 + 20 \)
11. \( C = 16 \)
12. Подставляем найденное значение \( C \) в общий вид первообразной:
13. \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16 \)

Ответ: $$ F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16 $$.