7. Решите неравенство log₃² x - log₃ x ≥ 6

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положительным.

\( x > 0 \)

Введем замену переменной. Пусть \( y = \log_3 x \). Тогда неравенство примет вид:

\( y^2 - y \geq 6 \)

\( y^2 - y - 6 \geq 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения \( y^2 - y - 6 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни:

\( y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

Так как парабола \( y^2 - y - 6 \) ветвями вверх, неравенство \( y^2 - y - 6 \geq 0 \) выполняется при \( y \leq -2 \) или \( y \geq 3 \).

Теперь вернемся к замене \( y = \log_3 x \):

1. \( \log_3 x \leq -2 \)

Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция возрастает, поэтому:

\( x \leq 3^{-2} \)

\( x \leq \frac{1}{9} \)

2. \( \log_3 x \geq 3 \)

\( x \geq 3^3 \)

\( x \geq 27 \)

Объединим полученные решения с учетом ОДЗ \( x > 0 \).

\( x \leq \frac{1}{9} \) и \( x > 0 \) => \( 0 < x \leq \frac{1}{9} \).

\( x \geq 27 \).

Ответ: \( (0; \frac{1}{9}] \cup [27; +\infty) \)