6. Решите уравнение log₅(x² + 2x - 7) = log₅(x - 1)

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для обоих логарифмов:

1. \( x^2 + 2x - 7 > 0 \)

2. \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)

При \( x > 1 \), \( x^2 + 2x - 7 \) будет больше нуля, так как если \( x=1 \), то \( 1+2-7 = -4 \). Если \( x > 1 \), то \( x^2 \) растет быстрее, чем \( 2x \) и \( -7 \), и в итоге значение станет положительным. Более точный анализ для \( x^2 + 2x - 7 > 0 \): корни уравнения \( x^2 + 2x - 7 = 0 \) равны \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm \sqrt{8} \). \( -1 - \sqrt{8} \approx -3.8 \) и \( -1 + \sqrt{8} \approx 1.8 \). Таким образом, \( x^2 + 2x - 7 > 0 \) при \( x < -1 - \sqrt{8} \) или \( x > -1 + \sqrt{8} \). Объединяя это с \( x > 1 \), получаем \( x > -1 + \sqrt{8} \). \( \sqrt{8} \) примерно \( 2.8 \), так что \( x > 1.8 \).

Так как основания логарифмов равны, приравняем аргументы:

\( x^2 + 2x - 7 = x - 1 \)

\( x^2 + 2x - x - 7 + 1 = 0 \)

\( x^2 + x - 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ \( x > -1 + \sqrt{8} \approx 1.8 \).

\( x_1 = 2 \). Так как \( 2 > 1.8 \), этот корень подходит.

\( x_2 = -3 \). Так как \( -3 \) не больше \( 1.8 \), этот корень не подходит.

Ответ: 2