5. Решите неравенство log₃(x + 12) ≥ −2

Решение:

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть больше нуля.

\( x + 12 > 0 \)

\( x > -12 \)

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), функция \( y = \log_3 x \) возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется.

\( \log_3 (x + 12) \geq -2 \)

Представим \( -2 \) как логарифм по основанию \( 3 \): \( -2 = \log_3 (3^{-2}) = \log_3 \left( \frac{1}{9} \right) \).

\( \log_3 (x + 12) \geq \log_3 \left( \frac{1}{9} \right) \)

\( x + 12 \geq \frac{1}{9} \)

\( x \geq \frac{1}{9} - 12 \)

\( x \geq \frac{1}{9} - \frac{108}{9} \)

\( x \geq -\frac{107}{9} \)

Теперь объединим ОДЗ и полученное решение:

\( x > -12 \) и \( x \geq -\frac{107}{9} \).

Так как \( -\frac{107}{9} \) (приблизительно -11.89) больше \( -12 \), то решением неравенства будет \( x \geq -\frac{107}{9} \).

Ответ: \( x \geq -\frac{107}{9} \)