7. Решите неравенство: 2^x + 6 · 2^-x ≤ 7.

Решение:

1. Введём замену: пусть \( t = 2^x \). Так как \( 2^x > 0 \) для любого \( x \), то \( t > 0 \).
2. Тогда \( 2^{-x} = \frac{1}{2^x} = \frac{1}{t} \).
3. Неравенство примет вид: \( t + 6 \cdot \frac{1}{t} \le 7 \).
4. Умножим обе части на \( t \) (так как \( t > 0 \), знак неравенства не меняется): \( t^2 + 6 \le 7t \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( t^2 - 7t + 6 \le 0 \).
6. Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего уравнения \( t^2 - 7t + 6 = 0 \).
7. Используем теорему Виета или дискриминант: \( t_1 + t_2 = 7 \), \( t_1 _2 = 6 \). Корни: \( t_1 = 1, t_2 = 6 \).
8. Парабола \( y = t^2 - 7t + 6 \) ветвями вверх, поэтому \( t^2 - 7t + 6 \le 0 \) при \( 1 \le t \le 6 \).
9. Учтём, что \( t > 0 \), что выполняется для \( 1 \le t \le 6 \).
10. Вернёмся к замене \( t = 2^x \): \( 1 \le 2^x \le 6 \).
11. Разложим единицу: \( 2^0 \le 2^x \le 6 \).
12. Так как функция \( y = 2^x \) возрастающая, то \( 0 \le x \le \log_2 6 \).

Ответ: \( [0; \log_2 6] \).