5) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −π].

Решение:

Из предыдущего пункта у нас есть корни уравнения: \( x = 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos(1/6) + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

Нам нужно найти корни на отрезке \( [-3\pi; -\pi] \).

Рассмотрим корни вида \( x = 2\pi k \):

• Если \( k = -1 \), то \( x = -2\pi \). Этот корень принадлежит отрезку \( [-3\pi; -\pi] \).
• Если \( k = -2 \), то \( x = -4\pi \). Этот корень не принадлежит отрезку.
• Если \( k = 0 \), то \( x = 0 \). Этот корень не принадлежит отрезку.

Рассмотрим корни вида \( x = \arccos(1/6) + 2\pi n \):

Значение \( \arccos(1/6) \) — это положительный угол в первой четверти. Чтобы получить отрицательные значения, нам нужно выбрать отрицательные \( n \).

• Если \( n = -1 \), то \( x = \arccos(1/6) - 2\pi \).
• \( \arccos(1/6) \) примерно равно \( 1.4 \) радиана.
• \( x \approx 1.4 - 2\pi \approx 1.4 - 6.28 = -4.88 \).
• \( -3\pi \approx -9.42 \), \( -\pi \approx -3.14 \).
• \( -4.88 \) находится между \( -9.42 \) и \( -3.14 \), то есть \( x = \arccos(1/6) - 2\pi \) принадлежит отрезку.

• Если \( n = -2 \), то \( x = \arccos(1/6) - 4\pi \). Это значение будет ещё меньше и не войдет в отрезок.

Рассмотрим корни вида \( x = -\arccos(1/6) + 2\pi n \):

\( -\arccos(1/6) \) — это отрицательный угол в четвёртой четверти.

• Если \( n = -1 \), то \( x = -\arccos(1/6) - 2\pi \).
• \( x \approx -1.4 - 6.28 = -7.68 \).
• \( -7.68 \) находится между \( -9.42 \) и \( -3.14 \), то есть \( x = -\arccos(1/6) - 2\pi \) принадлежит отрезку.

• Если \( n = -2 \), то \( x = -\arccos(1/6) - 4\pi \). Это значение будет ещё меньше и не войдет в отрезок.
• Если \( n = 0 \), то \( x = -\arccos(1/6) \). Это значение (приблизительно -1.4) не принадлежит отрезку.

Проверим значения еще раз, убедившись в принадлежности к отрезку \( [-3\pi, -\pi] \).

\( -3\pi \approx -9.42 \), \( -2\pi \approx -6.28 \), \( -1.5\pi \approx -4.71 \), \( -\pi \approx -3.14 \).

1. \( x = 2\pi k \): \( k = -1 \rightarrow x = -2\pi \). Принадлежит \( [-3\pi, -\pi] \).

2. \( x = \arccos(1/6) + 2\pi n \):

\( n = -1 \rightarrow x = \arccos(1/6) - 2\pi \). \( \arccos(1/6) \) находится между \( 0 \) и \( \pi/2 \) (примерно 1.4 рад). \( x \approx 1.4 - 6.28 = -4.88 \). \( -3\pi \approx -9.42 \), \( -\pi \approx -3.14 \). \( -4.88 \) находится между \( -3\pi \) и \( -2\pi \). Значит, \( x = \arccos(1/6) - 2\pi \) принадлежит отрезку.

3. \( x = -\arccos(1/6) + 2\pi n \):

\( n = -1 \rightarrow x = -\arccos(1/6) - 2\pi \). \( x \approx -1.4 - 6.28 = -7.68 \). \( -7.68 \) находится между \( -3\pi \) и \( -2\pi \). Значит, \( x = -\arccos(1/6) - 2\pi \) принадлежит отрезку.

Ответ: \( -2\pi \), \( \arccos(1/6) - 2\pi \), \( -\arccos(1/6) - 2\pi \).