7. Решить неравенство методом интервалов: \(\frac{(2x-6)(x+5)}{(2x+4)} > 0\)

Решение:

Решим неравенство \(\frac{(2x-6)(x+5)}{(2x+4)} > 0\) методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
2. Корни числителя: \(2x-6 = 0 \Rightarrow x = 3\); \(x+5 = 0 \Rightarrow x = -5\).
3. Корень знаменателя: \(2x+4 = 0 \Rightarrow x = -2\).
4. Отметим эти точки на числовой оси: -5, -2, 3. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -5)\), \((-5, -2)\), \((-2, 3)\), \((3, \infty)\).
5. Определим знак выражения в каждом интервале:
   • Для \(x < -5\) (например, \(x=-6\)): \(\frac{(2(-6)-6)(-6+5)}{(2(-6)+4)} = \frac{(-18)(-1)}{-8} = \frac{18}{-8} < 0\).
   • Для \(-5 < x < -2\) (например, \(x=-3\)): \(\frac{(2(-3)-6)(-3+5)}{(2(-3)+4)} = \frac{(-12)(2)}{-2} = \frac{-24}{-2} > 0\).
   • Для \(-2 < x < 3\) (например, \(x=0\)): \(\frac{(2(0)-6)(0+5)}{(2(0)+4)} = \frac{(-6)(5)}{4} = \frac{-30}{4} < 0\).
   • Для \(x > 3\) (например, \(x=4\)): \(\frac{(2(4)-6)(4+5)}{(2(4)+4)} = \frac{(2)(9)}{12} = \frac{18}{12} > 0\).
6. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля, поэтому выбираем интервалы, где знак '+'.

Ответ: \((-5; -2) \cup (3; +\infty)\)