4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции \(y = \sin x + \cos x\) в точке \(x_0 = -\frac{\pi}{4}\)

Решение:

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению её производной в данной точке.

1. Найдем производную функции \(y = \sin x + \cos x\):\(
   y' = (\sin x + \cos x)' = \cos x - \sin x \)
2. Вычислим значение производной в точке \(x_0 = -\frac{\pi}{4}\):\(
   y'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \)
3. Вспомним значения тригонометрических функций для \(-\frac{\pi}{4}\):\(
   \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
4. Подставим значения: \(
   \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

Ответ: \(\sqrt{2}\)