7. Разложите на множители x³ + 27y³ - 3x²y - 9xy².

Задание 7: Разложение многочлена на множители

Многочлен: \( x³ + 27y³ - 3x²y - 9xy² \)

Решение:

Сначала сгруппируем члены, чтобы увидеть известные формулы. Заметим, что \( x³ \) и \( 27y³ \) — это кубы:

\[ (x³ + 27y³) - (3x²y + 9xy²) \]

Первая группа — это сумма кубов, формула: \( a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²) \). Здесь \( a = x \) и \( b = 3y \).

\[ (x + 3y)(x² - x(3y) + (3y)²) = (x + 3y)(x² - 3xy + 9y²) \]

Вторая группа — вынесем общий множитель \( 3xy \):

\[ -3xy(x + 3y) \]

Теперь весь многочлен выглядит так:

\[ (x + 3y)(x² - 3xy + 9y²) - 3xy(x + 3y) \]

Мы видим общий множитель \( (x + 3y) \). Вынесем его за скобки:

\[ (x + 3y) [ (x² - 3xy + 9y²) - 3xy ] \]

Упростим выражение во вторых скобках:

\[ (x + 3y) [ x² - 3xy - 3xy + 9y² ] \]

\[ (x + 3y) [ x² - 6xy + 9y² ] \]

Заметим, что выражение в квадратных скобках \( x² - 6xy + 9y² \) является квадратом разности \( (a-b)² = a² - 2ab + b² \), где \( a = x \) и \( b = 3y \).

\[ (x + 3y) (x - 3y)² \]

Ответ: (x + 3y)(x - 3y)²