7. Найти член разложения, не содержащий х: (x+x^-2)^12.

Решение:

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

\( (a+b)^n = ∑_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k \)

В нашем случае \( a = x \), \( b = x^{-2} \), \( n = 12 \).

Общий член разложения имеет вид:

\( T_{k+1} = C_{12}^k × x^{12-k} × (x^{-2})^k = C_{12}^k × x^{12-k} × x^{-2k} = C_{12}^k × x^{12-k-2k} = C_{12}^k × x^{12-3k} \)

Чтобы найти член, не содержащий \( x \), нужно приравнять показатель степени \( x \) к нулю:

\( 12 - 3k = 0 \)

\( 3k = 12 \)

\( k = 4 \)

Теперь найдём коэффициент при \( k=4 \):

\( T_{4+1} = T_5 = C_{12}^4 × x^{12-3 × 4} = C_{12}^4 × x^0 \)

Рассчитаем число сочетаний \( C_{12}^4 \):

\( C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 × 11 × 10 × 9}{4 × 3 × 2 × 1} = \frac{11880}{24} = 495 \)

Следовательно, член разложения, не содержащий \( x \), равен 495.

Ответ: 495.