7. Найдите производную: (eˣ)/√x

Решение:

1. Воспользуемся правилом дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
2. В нашем случае \( u = e^x \) и \( v = \sqrt{x} = x^{1/2} \).
3. Найдем производные \( u' \) и \( v' \):
   • \( u' = (e^x)' = e^x \).
   • \( v' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
4. Подставим найденные значения в формулу частного: \[ \left(\frac{e^x}{\sqrt{x}}\right)' = \frac{e^x \cdot \sqrt{x} - e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} \]
5. Упростим выражение: \[ = \frac{e^x \sqrt{x} - \frac{e^x}{2\sqrt{x}}}{x} \]
6. Приведем числитель к общему знаменателю \( 2\sqrt{x} \): \[ = \frac{\frac{e^x \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} - e^x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2e^x \cdot x - e^x}{2\sqrt{x}}}{x} \]
7. Вынесем \( e^x \) за скобки в числителе: \[ = \frac{e^x(2x - 1)}{2\sqrt{x} \cdot x} = \frac{e^x(2x - 1)}{2x\sqrt{x}} \]

Ответ: \( \frac{e^x(2x - 1)}{2x\sqrt{x}} \)