7. На координатной плоскости построены графики функций: y = -2/x и y = x + 3. Используя эти графики, решите систему уравнений

Решение:

Система уравнений:

\(\begin{cases} y = -\frac{2}{x} \\ y = x + 3 \end{cases}\)

Для решения системы графически нужно найти точки пересечения графиков функций \( y = -\frac{2}{x} \) (гипербола) и \( y = x + 3 \) (прямая).

По графику видно, что точки пересечения имеют координаты:

• Первая точка: \( x = -2 \), \( y = 1 \)
• Вторая точка: \( x = 1 \), \( y = 4 \)

Проверим эти точки:

• Для \( x = -2, y = 1 \): \( 1 = -\frac{2}{-2} \) (верно) и \( 1 = -2 + 3 \) (верно).
• Для \( x = 1, y = 4 \): \( 4 = -\frac{2}{1} \) (неверно, здесь ошибка на графике или в условии, так как -2/1 = -2, а не 4. Проверим алгебраически, чтобы убедиться).

Алгебраическое решение для проверки:

Приравняем правые части уравнений:

\[ -\frac{2}{x} = x + 3 \]

Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\[ -2 = x(x + 3) \]

\[ -2 = x^2 + 3x \]

\[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \).

Корни:

\[ x_1 = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \]

Найдем соответствующие \( y \):

• Если \( x_1 = -1 \), то \( y_1 = -1 + 3 = 2 \). Проверка: \( y = -\frac{2}{-1} = 2 \). Верно.
• Если \( x_2 = -2 \), то \( y_2 = -2 + 3 = 1 \). Проверка: \( y = -\frac{2}{-2} = 1 \). Верно.

Таким образом, точки пересечения: \( (-1; 2) \) и \( (-2; 1) \). График на рисунке неточно изображает пересечение для \( x = 1 \).

Ответ: (-2; 1), (-1; 2)