7. Моторная лодка прошла против течения реки 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Задание 7. Задача на движение по реке

Дано:

• Расстояние туда и обратно: \( S = 8 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{теч} = 4 \) км/ч.
• Разница во времени: \( Δt = 30 \) мин = 0.5 ч.

Найти: скорость лодки в неподвижной воде \( v_{лож \)}.

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( x \) км/ч.
2. Скорость лодки против течения: \( v_{против} = x - v_{теч} = x - 4 \) км/ч.
3. Скорость лодки по течению: \( v_{по} = x + v_{теч} = x + 4 \) км/ч.
4. Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{8}{x - 4} \) ч.
5. Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{8}{x + 4} \) ч.
6. Мы знаем, что на обратный путь (по течению) лодка затратила на 0.5 часа меньше, чем против течения. То есть, \( t_{против} - t_{по} = 0.5 \):

\[ \frac{8}{x - 4} - \frac{8}{x + 4} = 0.5 \]

Приведем дроби к общему знаменателю \( (x-4)(x+4) \):

\[ \frac{8(x + 4) - 8(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 0.5 \]

\[ \frac{8x + 32 - 8x + 32}{x^2 - 16} = 0.5 \]

\[ \frac{64}{x^2 - 16} = 0.5 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ 64 = 0.5(x^2 - 16) \]

\[ 64 = 0.5x^2 - 8 \]

\[ 64 + 8 = 0.5x^2 \]

\[ 72 = 0.5x^2 \]

\[ x^2 = \frac{72}{0.5} = 144 \]

\[ x = √{144} \]

\[ x = 12 \]

Так как скорость лодки должна быть положительной, берем \( x = 12 \). Скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения (4 км/ч), что выполняется.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч.