5. В арифметической прогрессии второй член равен 9, а разность равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии и сумму первых десяти ее членов.

Задание 5. Арифметическая прогрессия

Нам дано:

• Второй член прогрессии: \( a_2 = 9 \)
• Разность прогрессии: \( d = 20 \)

Нужно найти:

• Десятый член прогрессии: \( a_{10} \)
• Сумму первых десяти членов: \( S_{10} \)

Находим десятый член (a₁₀):

Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \)

Сначала найдем первый член прогрессии (\( a_1 \)). Мы знаем, что \( a_2 = a_1 + d \):

\[ 9 = a_1 + 20 \]

\[ a_1 = 9 - 20 = -11 \]

Теперь найдем десятый член:

\[ a_{10} = a_1 + (10-1)d \]

\[ a_{10} = -11 + 9 × 20 \]

\[ a_{10} = -11 + 180 = 169 \]

Находим сумму первых десяти членов (S₁₀):

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} × n \]

Подставим наши значения:

\[ S_{10} = \frac{-11 + 169}{2} × 10 \]

\[ S_{10} = \frac{158}{2} × 10 \]

\[ S_{10} = 79 × 10 = 790 \]

Ответ: десятый член прогрессии равен 169, сумма первых десяти членов равна 790.