7.(2 балла) Найдите путь, пройденный телом за четыре секунды движения, если скорость изменяется по закону: v = 3t² + 5t - 1

Решение:

Путь \( S \), пройденный телом, является интегралом от скорости \( v(t) \) по времени \( t \).

\( S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \)

В данном случае \( v(t) = 3t^2 + 5t - 1 \), \( t_1 = 0 \) (начальное время) и \( t_2 = 4 \) (конечное время).

\( S = \int_{0}^{4} (3t^2 + 5t - 1) dt \)

Проинтегрируем функцию:

\( S = \left[ \frac{3t^3}{3} + \frac{5t^2}{2} - t \right]_{0}^{4} \)

\( S = \left[ t^3 + \frac{5}{2}t^2 - t \right]_{0}^{4} \)

Теперь подставим пределы интегрирования:

\( S = \left( 4^3 + \frac{5}{2}(4^2) - 4 \right) - \left( 0^3 + \frac{5}{2}(0^2) - 0 \right) \)

\( S = \left( 64 + \frac{5}{2}(16) - 4 \right) - 0 \)

\( S = 64 + 5 \times 8 - 4 \)

\( S = 64 + 40 - 4 \)

\( S = 104 - 4 \)

\( S = 100 \)

Ответ: 100.