69. lg^2(3-2x) < 2

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( 3 - 2x > 0 \), следовательно \( 2x < 3 \), \( x < \frac{3}{2} \).
2. Рассмотрим неравенство \( (lg(3-2x))^2 < 2 \).
3. Извлечём квадратный корень из обеих частей, учитывая, что \( lg(3-2x) \) может быть как положительным, так и отрицательным: \( -\sqrt{2} < lg(3-2x) < \sqrt{2} \).
4. Преобразуем к виду логарифмов по основанию 10: \( lg(10^{-\sqrt{2}}) < lg(3-2x) < lg(10^{\sqrt{2}}) \).
5. Так как основание логарифма \( 10 > 1 \), сравниваем аргументы: \( 10^{-\sqrt{2}} < 3 - 2x < 10^{\sqrt{2}} \).
6. Разделим на две части:
7. \( 10^{-\sqrt{2}} < 3 - 2x \) \( \implies 2x < 3 - 10^{-\sqrt{2}} \) \( \implies x < \frac{3 - 10^{-\sqrt{2}}}{2} \).
8. \( 3 - 2x < 10^{\sqrt{2}} \) \( \implies 3 - 10^{\sqrt{2}} < 2x \) \( \implies x > \frac{3 - 10^{\sqrt{2}}}{2} \).
9. Объединим условия: \( \frac{3 - 10^{\sqrt{2}}}{2} < x < \frac{3 - 10^{-\sqrt{2}}}{2} \).
10. Учтём ОДЗ \( x < \frac{3}{2} \). Так как \( 10^{\sqrt{2}} > 0 \), то \( \frac{3 - 10^{\sqrt{2}}}{2} < \frac{3}{2} \). Так как \( 10^{-\sqrt{2}} > 0 \), то \( 3 - 10^{-\sqrt{2}} < 3 \), следовательно \( \frac{3 - 10^{-\sqrt{2}}}{2} < \frac{3}{2} \).

Ответ: \( \frac{3 - 10^{\sqrt{2}}}{2} < x < \frac{3 - 10^{-\sqrt{2}}}{2} \).