6. В треугольнике MNK на стороне MN отмечена точка В, на стороне NK точка С, причём ВС || MK. Найдите длину стороны MK, если MN = 12, BM = 4, BC = 6.

Задание 6. Подобные треугольники

У нас есть треугольник MNK. Точки В на стороне MN и С на стороне NK образуют отрезок ВС, который параллелен стороне MK (ВС || MK).

Если отрезок, проведённый через две стороны треугольника, параллелен третьей стороне, то этот отрезок отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник.

Таким образом, треугольник ВNC подобен треугольнику MNK.

Это означает, что отношения соответствующих сторон равны:

\[ \frac{\text{BN}}{\text{MN}} = \frac{\text{BC}}{\text{MK}} = \frac{\text{NC}}{\text{NK}} \]

Нам дано:

• \( \text{MN} = 12 \)
• \( \text{BM} = 4 \)
• \( \text{BC} = 6 \)

Сначала найдём длину отрезка BN. Так как В лежит на MN, то \( \text{MN} = \text{MB} + \text{BN} \).

\[ 12 = 4 + \text{BN} \]

\[ \text{BN} = 12 - 4 = 8 \]

Теперь мы можем использовать отношение подобия для сторон BN, MN и BC, MK:

\[ \frac{\text{BN}}{\text{MN}} = \frac{\text{BC}}{\text{MK}} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{8}{12} = \frac{6}{\text{MK}} \]

Упростим дробь 8/12:

\[ \frac{2}{3} = \frac{6}{\text{MK}} \]

Теперь найдём MK, решив пропорцию:

\[ 2 \cdot \text{MK} = 3 \cdot 6 \]

\[ 2 \cdot \text{MK} = 18 \]

\[ \text{MK} = \frac{18}{2} \]

\[ \text{MK} = 9 \]

Ответ: 9