6. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием NM проведена медиана KD. Найдите углы треугольника KDM и угол MKN, если внешний угол треугольника MNK при вершине N равен 130°.

Решение:

Дано:

\( ∆ MNK \) — равнобедренный с основанием \( NM \).

\( KD \) — медиана.

Внешний угол при вершине \( N \) равен \( 130^{\circ} \).

Найти: \( ∠ KDM \), \( ∠ MKN \).

1. Нахождение внутренних углов треугольника MNK:

Внешний угол при вершине \( N \) и внутренний угол \( ∠ KNM \) смежные. Их сумма равна \( 180^{\circ} \).

\( ∠ KNM + 130^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠ KNM = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).

Так как \( ∆ MNK \) равнобедренный с основанием \( NM \), то углы при основании равны:

\( ∠ KMN = ∠ KNM = 50^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Найдем угол \( ∠ MKN \):

\( ∠ MKN + ∠ KMN + ∠ KNM = 180^{\circ} \)

\( ∠ MKN + 50^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠ MKN + 100^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠ MKN = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).

2. Свойства медианы в равнобедренном треугольнике:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.

\( KD \) — медиана к основанию \( NM \). Значит, \( KD \) является также биссектрисой угла \( ∠ MKN \) и высотой, проведенной к основанию \( NM \).

Так как \( KD \) — биссектриса \( ∠ MKN \), то она делит этот угол пополам:

\( ∠ MKD = ∠ NKD = \frac{∠ MKN}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).

Так как \( KD \) — высота, то \( KD ⊥ NM \), следовательно, \( ∠ KDM = 90^{\circ} \).

3. Нахождение углов треугольника KDM:

Мы уже нашли \( ∠ KDM = 90^{\circ} \).

В треугольнике \( ∆ KDM \):

\( ∠ DKM = ∠ NKD = 40^{\circ} \) (из п. 2).

\( ∠ KDM = 90^{\circ} \) (из п. 2).

Угол \( ∠ KMD \) совпадает с углом \( ∠ KMN \), который равен \( 50^{\circ} \).

Проверим сумму углов в \( ∆ KDM \): \( 40^{\circ} + 90^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} \).

4. Итоговые значения:

Углы треугольника \( KDM \): \( ∠ KDM = 90^{\circ} \), \( ∠ DKM = 40^{\circ} \), \( ∠ KMD = 50^{\circ} \).

Угол \( MKN \) равен \( 80^{\circ} \) (найден в п. 1).

Ответ: Углы треугольника KDM равны 90°, 40°, 50°. Угол MKN равен 80°.