3. Отрезки MN и KB пересекаются в точке А. Точка А является серединой отрезка KB, и угол AKN равен углу ABM. Найдите угол KNA, если угол BMA равен 53°.

Решение:

Дано:

\( MN \cap KB = A \)

\( KA = AB \)

\( ∠ AKN = ∠ ABM \)

\( ∠ BMA = 53^{\circ} \)

Найти: \( ∠ KNA \)

1. Доказательство равенства треугольников:

Рассмотрим треугольники \( ∆ KNA \) и \( ∆ BMA \).

1) \( KA = AB \) (по условию).

2) \( ∠ KAN = ∠ BAM \) (как вертикальные углы).

3) \( ∠ AKN = ∠ ABM \) (по условию).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), \( ∆ KNA = ∆ BMA \).

2. Нахождение угла KNA:

Из равенства треугольников следует, что равны их соответствующие углы.

\( ∠ KNA = ∠ BMA \).

Поскольку \( ∠ BMA = 53^{\circ} \) (по условию), то \( ∠ KNA = 53^{\circ} \).

Ответ: Угол KNA равен 53°.