6. В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^{\circ} \)) биссектрисы CD и AE пересекаются в точке O. \( \angle AOC = 105^{\circ} \). Найдите меньший острый угол треугольника ABC.

Решение:

1. В треугольнике ABC \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = \alpha \) и \( \angle B = \beta \). Тогда \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \).
2. CD — биссектриса угла C, значит, \( \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
3. AE — биссектриса угла A, значит, \( \angle CAE = \angle EAB = \frac{\alpha}{2} \).
4. Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). \( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \).
5. Подставим известные значения: \( \frac{\alpha}{2} + 45^{\circ} + 105^{\circ} = 180^{\circ} \).
6. \( \frac{\alpha}{2} + 150^{\circ} = 180^{\circ} \).
7. \( \frac{\alpha}{2} = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
8. \( \alpha = 30^{\circ} \cdot 2 = 60^{\circ} \).
9. Теперь найдем \( \beta \): \( \beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
10. Меньший острый угол треугольника ABC — это \( \beta = 30^{\circ} \).

Ответ: 30°