6. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 76 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 20 часов после отплытия из него.

Решение:

1. Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде как \( v \) км/ч.
2. Скорость теплохода по течению: \( v + 3 \) км/ч.
3. Скорость теплохода против течения: \( v - 3 \) км/ч.
4. Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{76}{v+3} \) часов.
5. Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{76}{v-3} \) часов.
6. Общее время в пути с учётом стоянки: \( t_1 + t_2 + 1 = 20 \) часов.
7. Подставим значения \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{76}{v+3} + \frac{76}{v-3} + 1 = 20 \].
8. Упростим уравнение: \( \frac{76}{v+3} + \frac{76}{v-3} = 19 \).
9. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{76(v-3) + 76(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 19 \] \[ \frac{76v - 228 + 76v + 228}{v^2 - 9} = 19 \] \[ \frac{152v}{v^2 - 9} = 19 \].
10. Решим уравнение: \( 152v = 19(v^2 - 9) \) \( \Rightarrow 152v = 19v^2 - 171 \) \( \Rightarrow 19v^2 - 152v - 171 = 0 \).
11. Разделим на 19: \( v^2 - 8v - 9 = 0 \).
12. Решим квадратное уравнение (можно по теореме Виета или через дискриминант): \( v_1 = 9 \), \( v_2 = -1 \).
13. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 9 \) км/ч.

Ответ: 9 км/ч.