6. Решить задачу: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 см и 8 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед.
• Стороны основания: \( a = 6 \) см, \( b = 8 \) см.
• Угол между диагональю и плоскостью основания: \( &\#x03B1; = 45^\circ \).

Найти: Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

Решение:

1. Сначала найдём диагональ основания \( d_{осн} \) по теореме Пифагора:
2. \( d_{осн}^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
3. \( d_{осн} = √{100} = 10 \) см.
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда \( D \), диагональю основания \( d_{осн} \) и боковым ребром (высотой) \( h \). Угол между диагональю \( D \) и плоскостью основания равен \( 45^\circ \).
5. В этом треугольнике \( \text{tg}(&\#x03B1;) = &\#x002B;\; \frac{h}{d_{осн}} \).
6. Так как \( &\#x03B1; = 45^\circ \), то \( \text{tg}(45^\circ) = 1 \).
7. Следовательно, \( 1 = &\#x002B;\; \frac{h}{10} \), откуда \( h = 10 \) см.
8. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( S_{полн} = 2(ab + ah + bh) \).
9. Подставим известные значения:
10. \( S_{полн} = 2(6 &\#x002B;\; 8 + 6 &\#x002B;\; 10 + 8 &\#x002B;\; 10) \).
11. \( S_{полн} = 2(48 + 60 + 80) \).
12. \( S_{полн} = 2(48 + 60 + 80) = 2(188) \).
13. \( S_{полн} = 376 \) см2.

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна 376 см2.