1. Решить уравнения: a) log₈(2x + 1) = 0 б) 2(x2-5) = 4(x + 1) в) 2cos2(x) - 7 cos(x) + 3 = 0

Решение:

а) log₈(2x + 1) = 0

1. По определению логарифма: \( 2x + 1 = 8⁰ \).
2. \( 2x + 1 = 1 \).
3. \( 2x = 0 \).
4. \( x = 0 \).

б) 2(x2-5) = 4(x + 1)

1. Раскроем скобки: \( 2x2 - 10 = 4x + 4 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2x2 - 4x - 14 = 0 \).
3. Разделим на 2: \( x2 - 2x - 7 = 0 \).
4. Найдём дискриминант: \( D = b2 - 4ac = (-2)2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32 \).
5. Найдём корни: \[ x = \frac{-b &\#x002B;\;\sqrt{D}}{2a} = \frac{2 &\#x002B;\;\sqrt{32}}{2} = \frac{2 &\#x002B;\;4\sqrt{2}}{2} = 1 &\#x002B;\;2\sqrt{2} \] \[ x = \frac{-b - \;\sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{32}}{2} = \frac{2 - 4\sqrt{2}}{2} = 1 - 2\sqrt{2} \]

в) 2cos2(x) - 7 cos(x) + 3 = 0

1. Введём замену: пусть \( y = \text{cos}(x) \).
2. Получим квадратное уравнение: \( 2y2 - 7y + 3 = 0 \).
3. Найдём дискриминант: \( D = (-7)2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \).
4. Найдём корни для \( y \): \[ y_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ y_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
5. Вернёмся к замене: \( \text{cos}(x) = 3 \) (нет решений, так как \( |\text{cos}(x)| ≤ 1 \)) или \( \text{cos}(x) = \frac{1}{2} \).
6. \( x = &\#x002B;\;\frac{&\#x002B;\;\pi}{3} &\#x002B;\;2&\#x002B;\;\pi k \), где \( k ∈ Z \).

Ответ: а) x = 0; б) x = 1 &\#x002B;\;2\(\sqrt{2}\), x = 1 - 2\(\sqrt{2}\); в) x = &\#x002B;\;\(\frac{+\;\pi}{3}\) &\#x002B;\;2&\#x002B;\;\(\pi\) k, k ∈ Z.