4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 2x3-3x2-12x + 5 на отрезке [0; 3]

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5)' = 6x^2 - 6x - 12 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \).
3. Разделим на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
4. Найдём корни квадратного уравнения: \( (x-2)(x+1) = 0 \).
5. Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
6. Из критических точек на отрезок \( [0; 3] \) попадает только \( x = 2 \).
7. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей на отрезок:
8. \( f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 12(0) + 5 = 5 \).
9. \( f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 2(8) - 3(4) - 24 + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = 4 - 24 + 5 = -20 + 5 = -15 \).
10. \( f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 12(3) + 5 = 2(27) - 3(9) - 36 + 5 = 54 - 27 - 36 + 5 = 27 - 36 + 5 = -9 + 5 = -4 \).
11. Сравним полученные значения: 5, -15, -4.

Наибольшее значение равно 5, наименьшее значение равно -15.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение равно -15.