2. Решить неравенства: a) \(\(\frac{1}{3x-6}\) \(\le\) 125 б) log₃(3x-2) ≤ 2

Решение:

а) \(\frac{1}{3x-6} \le 125\)

1. ОДЗ: \( 3x - 6 ≠ 0 → 3x ≠ 6 → x ≠ 2 \).
2. Перенесём 125 в левую часть: \( \frac{1}{3x - 6} - 125 ≤ 0 \).
3. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{1 - 125(3x - 6)}{3x - 6} ≤ 0 \).
4. \( \frac{1 - 375x + 750}{3x - 6} ≤ 0 \).
5. \( \frac{751 - 375x}{3x - 6} ≤ 0 \).
6. Метод интервалов:
7. Числитель равен 0: \( 751 - 375x = 0 → x = \frac{751}{375} \).
8. Знаменатель равен 0: \( 3x - 6 = 0 → x = 2 \).
9. Отметим точки на числовой оси: 2 и \( \frac{751}{375} \) (примерно 2.002).
10. Проверим знаки на интервалах:
11. При \( x < 2 \) (например, x=0): \( \frac{751}{ -6} < 0 \) — подходит.
12. При \( 2 < x < \frac{751}{375} \) (например, x=2.001): \( \frac{\text{положительное}}{\text{положительное}} > 0 \) — не подходит.
13. При \( x > \frac{751}{375} \) (например, x=3): \( \frac{\text{отрицательное}}{\text{положительное}} < 0 \) — подходит.
14. Решение: \( x < 2 \) или \( x ≥ \frac{751}{375} \).

б) log₃(3x-2) ≤ 2

1. ОДЗ: \( 3x - 2 > 0 → 3x > 2 → x > \frac{2}{3} \).
2. По определению логарифма: \( 3x - 2 ≤ 32 \).
3. \( 3x - 2 ≤ 9 \).
4. \( 3x ≤ 11 \).
5. \( x ≤ \frac{11}{3} \).
6. Учитывая ОДЗ \( x > \frac{2}{3} \), получаем: \( \frac{2}{3} < x ≤ \frac{11}{3} \).

Ответ: а) \( x < 2 \) или \( x ≥ \frac{751}{375} \); б) \( \frac{2}{3} < x ≤ \frac{11}{3} \).