6. Найдите производную функции: f(x) = x^2 / (x^3+1)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x^2}{x^3+1} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = x^2 \) и \( v = x^3+1 \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^2)' = 2x \)
• \( v' = (x^3+1)' = 3x^2 \)

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$ f'(x) = \frac{2x(x^3+1) - x^2(3x^2)}{(x^3+1)^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ f'(x) = \frac{2x^4 + 2x - 3x^4}{(x^3+1)^2} $$

Упростим числитель:

$$ f'(x) = \frac{-x^4 + 2x}{(x^3+1)^2} $$

Ответ: \( f'(x) = \frac{-x^4 + 2x}{(x^3+1)^2} \).