5. Найдите производную функции: f(x) = ³√3x - 2

Решение:

Перепишем функцию в виде \( f(x) = (3x-2)^{\frac{1}{3}} \) для удобства дифференцирования.

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x) \).

Здесь \( u(x) = 3x-2 \) и \( n = \frac{1}{3} \).

• Найдём производную \( u(x) \): \( u'(x) = (3x-2)' = 3 \).

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$ f'(x) = \frac{1}{3}(3x-2)^{\frac{1}{3}-1} \cdot 3 $$ $$ f'(x) = \frac{1}{3}(3x-2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 $$ $$ f'(x) = (3x-2)^{-\frac{2}{3}} $$

Перепишем ответ в виде корня:

$$ f'(x) = \frac{1}{(3x-2)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}} $$

Ответ: \( f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-2)^2}} \).