1. Найдите производную функции: t(x) = (1+2x)/(3-5x)

Решение:

Для нахождения производной функции \( t(x) = \frac{1+2x}{3-5x} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = 1+2x \) и \( v = 3-5x \).

Найдём производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (1+2x)' = 2 \)
• \( v' = (3-5x)' = -5 \)

Теперь подставим найденные значения в формулу:

$$ t'(x) = \frac{2(3-5x) - (1+2x)(-5)}{(3-5x)^2} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ t'(x) = \frac{6 - 10x - (-5 - 10x)}{(3-5x)^2} $$ $$ t'(x) = \frac{6 - 10x + 5 + 10x}{(3-5x)^2} $$

Упростим числитель:

$$ t'(x) = \frac{11}{(3-5x)^2} $$

Ответ: \( t'(x) = \frac{11}{(3-5x)^2} \).