6. Найдите корень уравнения \( \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Решение:

Общее решение уравнения \( \sin \alpha = a \) имеет вид: \( \alpha = \pm \arcsin a + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \) и \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Значит, \( \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \).

Получаем два случая:

1. \( 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \)

Разделим на 2:

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n \]

2. \( 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \)

Разделим на 2:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).