13. Для функции \( y = \frac{1}{\cos^2 2x} \) найдите первообразную, график которой проходит через точку М (\(\frac{\pi}{4}\); 2).

Решение:

Сначала найдём общий вид первообразной для функции \( y = \frac{1}{\cos^2 2x} \).

Мы знаем, что первообразной для \( \frac{1}{\cos^2 u} \) является \( \text{tg } u \).

Пусть \( u = 2x \), тогда \( du = 2dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

Интеграл будет выглядеть так:

\[ ∫ \frac{1}{\cos^2 2x} dx = ∫ \frac{1}{\cos^2 u} · \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} ∫ \frac{1}{\cos^2 u} du = \frac{1}{2} \text{tg } u + C \]

Подставляя обратно \( u = 2x \), получаем:

\[ F(x) = \frac{1}{2} \text{tg } (2x) + C \]

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку \( M(\frac{\pi}{4}; 2) \). Подставим координаты точки в уравнение:

\[ 2 = \frac{1}{2} \text{tg } (2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C \]

\[ 2 = \frac{1}{2} \text{tg } (\frac{\pi}{2}) + C \]

Значение \( \text{tg } (\frac{\pi}{2}) \) не определено. Вероятно, в условии опечатка, и точка должна быть такой, чтобы \( \cos^2 2x
e 0 \). Предположим, что точка \( M(\frac{\pi}{8}; 2) \) или \( M(\frac{\pi}{4}; y) \) где \( y \) является определенным значением.

Если предположить, что вместо \( \cos^2 2x \) было \( \sin^2 2x \), то первообразной была бы \( -\frac{1}{2} \text{ctg } (2x) + C \). В этом случае:

\[ 2 = -\frac{1}{2} \text{ctg } (2 \cdot \frac{\pi}{4}) + C \]

\[ 2 = -\frac{1}{2} \text{ctg } (\frac{\pi}{2}) + C \]

\[ 2 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + C → C = 2 \]

Тогда \( F(x) = -\frac{1}{2} \text{ctg } (2x) + 2 \).

Если в условии верно \( y = \frac{1}{\cos^2 2x} \) и точка \( M(\frac{\pi}{4}; 2) \), то задача не имеет решения из-за неопределенности \( \text{tg } (\frac{\pi}{2}) \).

Предположим, что точка имеет координаты \( M(\frac{\pi}{8}; 2) \) для функции \( y = \frac{1}{\cos^2 2x} \).

\[ 2 = \frac{1}{2} \text{tg } (2 \cdot \frac{\pi}{8}) + C \]

\[ 2 = \frac{1}{2} \text{tg } (\frac{\pi}{4}) + C \]

\[ 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 + C \]

\[ 2 = 0,5 + C → C = 1,5 \]

Тогда \( F(x) = \frac{1}{2} \text{tg } (2x) + 1,5 \).

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{2} \text{tg } (2x) + 1,5 \) (при условии, что точка \( M(\frac{\pi}{8}; 2) \)).