6. На рисунке углы В и Д прямые, AD = BC. Докажите, что треугольники АВС и CDA равны.

Краткое пояснение:

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

1. По условию, \( \angle B = 90^{\circ} \) и \( \angle D = 90^{\circ} \). Это означает, что оба треугольника прямоугольные.

2. По условию, \( AD = BC \). Это одна пара равных сторон.

3. Сторона AC является общей для обоих треугольников. То есть \( AC = AC \).

Теперь у нас есть:

- Треугольник ABC — прямоугольный.

- Треугольник CDA — прямоугольный.

- Равные катеты: \( BC = AD \).

- Равная гипотенуза: \( AC = AC \).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум сторонам: катету и гипотенузе), треугольник ABC равен треугольнику CDA.

Другое обоснование (по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними):

В треугольнике ABC:

Сторона AB

Сторона BC

Угол B = 90°

В треугольнике CDA:

Сторона CD

Сторона AD

Угол D = 90°

У нас есть:

1. \( AD = BC \) (по условию)

2. \( AC = AC \) (общая сторона)

3. \( \angle B = \angle D = 90^{\circ} \)

Мы не можем напрямую применить признак по двум сторонам и углу между ними, так как углы B и D не являются углами между сторонами AC и BC (в ABC) или AC и AD (в CDA).

Однако, если мы рассмотрим стороны AB и CD, мы можем доказать их равенство, если докажем равенство треугольников.

Используем признак равенства треугольников по гипотенузе и острому углу:

В прямоугольном треугольнике ABC:

Гипотенуза AC.

Катет BC.

Острый угол \( \angle BAC \).

В прямоугольном треугольнике CDA:

Гипотенуза AC.

Катет AD.

Острый угол \( \angle DCA \).

У нас дано, что \( AD = BC \).

Так как AC — общая гипотенуза, и катеты AD и BC равны, то треугольники ABC и CDA равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).