1. В треугольнике АВС проведена высота АН. Известно, что ∠ВАН = 45°, ∠CAH = 30°. Укажите номера верных утверждений: 1) AB = 2AH 2) AC = 2CH 3) AC = 2AH 4) AB = AC 5) AH = BH 6) BH = CH

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = 45°, значит, треугольник ABH — равнобедренный, и AH = BH. Следовательно, утверждение 5 верно.

Также в треугольнике ABH, \( \tan(45^{\circ}) = \frac{BH}{AH} \). Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то BH = AH. Утверждение 6 неверно.

Из \( \tan(45^{\circ}) = \frac{BH}{AH} \), имеем \( AB = \frac{AH}{\cos(45^{\circ})} = \frac{AH}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = AH \cdot \sqrt{2} \). Утверждение 1 \( AB = 2AH \) неверно.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол CAH = 30°.

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{CH}{AH} \), следовательно, \( CH = AH \cdot \tan(30^{\circ}) = AH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AH\sqrt{3}}{3} \).

Утверждение 2 \( AC = 2CH \) неверно.

Из \( \tan(30^{\circ}) = \frac{CH}{AH} \), имеем \( AC = \frac{AH}{\cos(30^{\circ})} = \frac{AH}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2AH}{\sqrt{3}} = \frac{2AH\sqrt{3}}{3} \). Утверждение 3 \( AC = 2AH \) неверно.

Сравним AB и AC:

\( AB = AH\sqrt{2} \) и \( AC = \frac{2AH\sqrt{3}}{3} \).

\( \sqrt{2} \approx 1.414 \)

\( \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \frac{2 × 1.414}{3} \approx \frac{2.828}{3} \approx 0.943 \)

Так как \( AB > AC \), то утверждение 4 \( AB = AC \) неверно.

Ответ: 5