6. Дан прямоугольный параллелепипед А1B1C1D1ABCD, AB=3, AD=4, АА1=6, точка М середина ребра DD1.Найти угол между плоскостью ADC и АСМ.

Решение:

1. Зададим координаты вершин параллелепипеда: \( A=(0,0,0) \), \( D=(0,4,0) \), \( C=(3,4,0) \), \( D_1=(0,4,6) \).
2. Точка \( M \) — середина \( DD_1 \), значит \( M = (\frac{0+0}{2}, \frac{4+4}{2}, \frac{0+6}{2}) = (0,4,3) \).
3. Плоскость \( ADC \) проходит через точки \( A(0,0,0) \), \( D(0,4,0) \), \( C(3,4,0) \). Нормальный вектор к этой плоскости — \( \vec{n_1} = (0,0,1) \) (ось Z).
4. Плоскость \( ACM \) проходит через точки \( A(0,0,0) \), \( C(3,4,0) \), \( M(0,4,3) \).
• Найдем два вектора, лежащих в плоскости \( ACM \):
• \( \vec{AC} = C - A = (3,4,0) - (0,0,0) = (3,4,0) \).
• \( \vec{AM} = M - A = (0,4,3) - (0,0,0) = (0,4,3) \).
• Найдем нормальный вектор \( \vec{n_2} \) к плоскости \( ACM \) как векторное произведение \( \vec{AC} \times \vec{AM} \):
• \( \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 3 - 0 4) - \vec{j}(3 3 - 0 0) + \vec{k}(3 4 - 0 0) \)
• \( = \vec{i}(12) - \vec{j}(9) + \vec{k}(12) = (12, -9, 12) \). Можно взять пропорциональный вектор \( (4, -3, 4) \).
5. Угол \( \alpha \) между плоскостями равен углу между их нормальными векторами \( \vec{n_1} = (0,0,1) \) и \( \vec{n_2} = (4, -3, 4) \).
• \( \cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \)
• \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(4) + (0)(-3) + (1)(4) = 4 \).
• \( |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \).
• \( |\vec{n_2}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 9 + 16} = \sqrt{41} \).
• \( \cos \alpha = \frac{|4|}{1 \cdot \sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} \).

Ответ: Угол между плоскостями \( ADC \) и \( ACM \) равен \( \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{41}}\right) \).