5. Дан прямоугольный параллелепипед А1B1C1D1ABCD, AB=3, AD=4, АА1=6. М лежит на ребре АВ и делит в отношении АМ:MB=1:2, N лежит на ребре D1C1 и делит в отношении D₁N:NC1=2:1, точка пересечения ВС1 и В1C. Найти угол между MN и TD1.

Решение:

Для решения используем координаты.

1. Зададим координаты вершин параллелепипеда: \( A=(0,0,0) \), \( B=(3,0,0) \), \( D=(0,4,0) \), \( A_1=(0,0,6) \).
2. Найдем координаты заданных точек:
• \( M \) делит \( AB \) в отношении \( 1:2 \), значит \( M = \frac{2A + 1B}{3} = \frac{2(0,0,0) + 1(3,0,0)}{3} = (1,0,0) \).
• \( N \) делит \( D_1C_1 \) в отношении \( 2:1 \). \( D_1=(0,4,6) \), \( C_1=(3,4,6) \). \( N = \frac{1D_1 + 2C_1}{3} = \frac{1(0,4,6) + 2(3,4,6)}{3} = \frac{(0,4,6) + (6,8,12)}{3} = \frac{(6,12,18)}{3} = (2,4,6) \).
• \( T \) — точка пересечения \( BC_1 \) и \( B_1C \).
• Прямая \( BC_1 \): \( r = B + t(C_1 - B) = (3,0,0) + t((3,4,6) - (3,0,0)) = (3,0,0) + t(0,4,6) = (3, 4t, 6t) \).
• Прямая \( B_1C \): \( B_1=(3,0,6) \), \( C=(3,4,0) \). \( r = B_1 + u(C - B_1) = (3,0,6) + u((3,4,0) - (3,0,6)) = (3,0,6) + u(0,4,-6) = (3, 4u, 6 - 6u) \).
• Приравнивая координаты: \( 4t = 4u \rightarrow t = u \). \( 6t = 6 - 6u \rightarrow t = 1 - u \). \( t = 1 - t \rightarrow 2t = 1 \rightarrow t = 1/2 \). \( u = 1/2 \).
• \( T = (3, 4(1/2), 6(1/2)) = (3, 2, 3) \).
3. Найдем векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{TD_1} \):
• \( \vec{MN} = N - M = (2,4,6) - (1,0,0) = (1,4,6) \).
• \( \vec{TD_1} = D_1 - T = (0,4,6) - (3,2,3) = (-3,2,3) \).
4. Найдем косинус угла \( \theta \) между векторами \( \vec{MN} \) и \( \vec{TD_1} \) по формуле \( \cos \theta = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{TD_1}}{|\vec{MN}| |\vec{TD_1}|} \).
• \( \vec{MN} \cdot \vec{TD_1} = (1)(-3) + (4)(2) + (6)(3) = -3 + 8 + 18 = 23 \).
• \( |\vec{MN}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53} \).
• \( |\vec{TD_1}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \).
• \( \cos \theta = \frac{23}{\sqrt{53} \sqrt{22}} = \frac{23}{\sqrt{1166}} \).

Ответ: Угол между \( MN \) и \( TD_1 \) равен \( \arccos\left(\frac{23}{\sqrt{1166}}\right) \).