4. Найти периметр треугольника АВС и длину медианы АМ, если А(2; 3; 1), B(7; 1; 5), C(-1; 2; 5).

Решение:

1. Найдем длины сторон треугольника АВС, используя формулу расстояния между двумя точками: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \).
• Длина стороны \( AB \):
• \( AB = \sqrt{(7-2)^2 + (1-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).
• Длина стороны \( BC \):
• \( BC = \sqrt{(-1-7)^2 + (2-1)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65} \).
• Длина стороны \( AC \):
• \( AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26} \).
2. Периметр треугольника \( P = AB + BC + AC \):
• \( P = 3\sqrt{5} + \sqrt{65} + \sqrt{26} \).
3. Найдем координаты точки М — середины стороны \( BC \):
• \( M = (\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}, \frac{z_B+z_C}{2}) = (\frac{7+(-1)}{2}, \frac{1+2}{2}, \frac{5+5}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{3}{2}, \frac{10}{2}) = (3, 1.5, 5) \).
4. Найдем длину медианы \( AM \):
• \( AM = \sqrt{(3-2)^2 + (1.5-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1.5)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 2.25 + 16} = \sqrt{19.25} = \sqrt{\frac{77}{4}} = \frac{\sqrt{77}}{2} \).

Ответ: Периметр \( P = 3\sqrt{5} + \sqrt{65} + \sqrt{26} \), длина медианы \( AM = \frac{\sqrt{77}}{2} \).