2. Доказать, что векторы \( \vec{AB} \), \( \vec{CD} \) перпендикулярны, если A(2; 3; 1), B(7; 1; 5), C(-1; 2; 5), D(2; 6; 4).

Решение:

Чтобы доказать перпендикулярность векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю.

1. Найдем координаты вектора \( \vec{AB} \):
• \( \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (7 - 2, 1 - 3, 5 - 1) = (5, -2, 4) \).
2. Найдем координаты вектора \( \vec{CD} \):
• \( \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = (2 - (-1), 6 - 2, 4 - 5) = (3, 4, -1) \).
3. Вычислим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \):
• \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (5)(3) + (-2)(4) + (4)(-1) = 15 - 8 - 4 = 15 - 12 = 3 \).

Скалярное произведение не равно нулю, значит, векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) не перпендикулярны.

Ответ: Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) не перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно 3.