6. (2 балла) Задайте первообразную F(x) для функции f(x)=3x²-2x, если известны координаты точки М (1, 4) графика F(x).

Решение:

Сначала найдем общую первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 3x^2 - 2x \) путём интегрирования:

\( F(x) = \int (3x^2 - 2x) dx = 3 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + C = x^3 - x^2 + C \)

Теперь используем информацию о точке \( M(1, 4) \), через которую проходит график \( F(x) \). Это значит, что при \( x=1 \), \( F(x)=4 \).

Подставим эти значения в уравнение для \( F(x) \):

\( 4 = 1^3 - 1^2 + C \)

\( 4 = 1 - 1 + C \)

\( 4 = C \)

Теперь запишем частную первообразную, подставив найденное значение \( C \):

\( F(x) = x^3 - x^2 + 4 \)

Ответ: F(x) = x³ - x² + 4.