6.18. Сколько существует шестизначных чисел, у которых А) третья цифра 5? Б) последняя цифра чётная? В) на нечётных местах стоят нечётные цифры? Г) на нечётных местах стоят чётные цифры?

Решение:

Шестизначное число имеет вид ABCDEF, где A ≠ 0. Всего цифр 10 (0-9). Нечётные цифры: 1, 3, 5, 7, 9 (5 цифр). Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8 (5 цифр).

А) Третья цифра — 5:

• Первая цифра (A): 9 вариантов (1-9).
• Вторая цифра (B): 10 вариантов (0-9).
• Третья цифра (C): 1 вариант (5).
• Четвёртая цифра (D): 10 вариантов (0-9).
• Пятая цифра (E): 10 вариантов (0-9).
• Шестая цифра (F): 10 вариантов (0-9).
• Общее число: 9 * 10 * 1 * 10 * 10 * 10 = 90 000.

Б) Последняя цифра — чётная:

• Первая цифра (A): 9 вариантов (1-9).
• Вторая цифра (B): 10 вариантов (0-9).
• Третья цифра (C): 10 вариантов (0-9).
• Четвёртая цифра (D): 10 вариантов (0-9).
• Пятая цифра (E): 10 вариантов (0-9).
• Шестая цифра (F): 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).
• Общее число: 9 * 10 * 10 * 10 * 10 * 5 = 450 000.

В) На нечётных местах стоят нечётные цифры (1-е, 3-е, 5-е места):

• Первая цифра (A): 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9).
• Третья цифра (C): 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9).
• Пятая цифра (E): 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9).
• Вторая цифра (B): 10 вариантов (0-9).
• Четвёртая цифра (D): 10 вариантов (0-9).
• Шестая цифра (F): 10 вариантов (0-9).
• Общее число: 5 * 10 * 5 * 10 * 5 * 10 = 125 000.

Г) На нечётных местах стоят чётные цифры (1-е, 3-е, 5-е места):

• Первая цифра (A): 4 варианта (2, 4, 6, 8), так как 0 не может быть первой цифрой.
• Третья цифра (C): 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).
• Пятая цифра (E): 5 вариантов (0, 2, 4, 6, 8).
• Вторая цифра (B): 10 вариантов (0-9).
• Четвёртая цифра (D): 10 вариантов (0-9).
• Шестая цифра (F): 10 вариантов (0-9).
• Общее число: 4 * 10 * 5 * 10 * 5 * 10 = 100 000.

Ответ: А) 90 000; Б) 450 000; В) 125 000; Г) 100 000.