6.10. А) Сколько существует четырёхзначных чисел, которые делятся на 57? Б) Сколько существует пятизначных чисел, которые делятся на 25?

Задание 6.10. Делимость чисел

А) Четырёхзначные числа, делящиеся на 57

Четырёхзначные числа находятся в диапазоне от 1000 до 9999.

Чтобы найти количество четырёхзначных чисел, делящихся на 57, нужно:

1. Найти наименьшее четырёхзначное число, делящееся на 57. Это \( 1000 : 57 \approx 17.54 \). Значит, первое число будет \( 57 \times 18 \).
2. Найти наибольшее четырёхзначное число, делящееся на 57. Это \( 9999 : 57 \approx 175.42 \). Значит, последнее число будет \( 57 \times 175 \).
3. Посчитать количество таких чисел, используя формулу: \( (\text{последний множитель} - \text{первый множитель}) + 1 \).

Первое число: \( 57 \times 18 = 1026 \).

Последнее число: \( 57 \times 175 = 9975 \).

Количество чисел = \( (175 - 18) + 1 = 157 + 1 = 158 \).

Б) Пятизначные числа, делящиеся на 25

Пятизначные числа находятся в диапазоне от 10000 до 99999.

Число делится на 25, если две его последние цифры образуют число, делящееся на 25 (то есть 00, 25, 50, 75).

Всего пятизначных чисел: \( 99999 - 10000 + 1 = 90000 \).

Для того чтобы число делилось на 25, последние две цифры должны быть 00, 25, 50 или 75. Это 4 варианта.

Первая цифра пятизначного числа может быть от 1 до 9 (9 вариантов).

Вторая, третья и четвёртая цифры могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов).

Последние две цифры образуют число, делящееся на 25 (4 варианта).

Таким образом, количество пятизначных чисел, делящихся на 25, равно:

Количество = (варианты первой цифры) \(\times\) (варианты второй цифры) \(\times\) (варианты третьей цифры) \(\times\) (варианты четырёх последних цифр, образующих число, делящееся на 25)

Другой способ: общее количество пятизначных чисел — 90000. Каждое четвёртое число делится на 25.

Количество чисел, делящихся на 25 = \( 90000 / 25 = 3600 \).

Ответ: А) 158; Б) 3600.