6. (1 балл) Вычислите значение выражения: 64log8^9 + 3.

Решение:

Вычислим значение выражения:

\( 64^{ \log_{8}{9} } + 3 \)

Воспользуемся свойством логарифмов: \( a^{\log_{a^k}{b}} = b^{1/k} \).

Перепишем основание 64 как \( 8^2 \) или \( 2^6 \).

Рассмотрим \( 64^{\log_{8}{9}} \). Можно преобразовать основание логарифма \( 8 \) к \( 64 \) или наоборот. Удобнее привести основание логарифма к основанию степени.

\( \log_{8}{9} = \log_{2^3}{3^2} \). Используем свойство \( \log_{a^m}{b^n} = \frac{n}{m} \log_a b \).

\( \log_{8}{9} = \frac{2}{3} \log_{2}{3} \).

Теперь подставим это в исходное выражение:

\( 64^{\frac{2}{3} \log_{2}{3}} + 3 \)

\( (2^6)^{\frac{2}{3} \log_{2}{3}} + 3 \)

\( 2^{6 \times \frac{2}{3} \log_{2}{3}} + 3 \)

\( 2^{4 \log_{2}{3}} + 3 \)

\( 2^{\log_{2}{3^4}} + 3 \)

По свойству \( a^{\log_a b} = b \):

\( 3^4 + 3 \)

\( 81 + 3 = 84 \)

Ответ: 84