3. (1 балл) Решите уравнение 8sin x - √32=0. В ответе укажите наименьший положительный корень.

Решение:

1. Преобразуем уравнение:

\( 8 \sin x = \sqrt{32} \)

\( \sin x = \frac{\sqrt{32}}{8} \)

\( \sin x = \frac{4\sqrt{2}}{8} \)

\( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

2. Найдём значения \( x \), при которых \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Основной период для \( \sin x \) — \( 2\pi \).

Частные решения:

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

3. Определим наименьший положительный корень. Для \( k = 0 \) получаем:

\( x_1 = \frac{\pi}{4} \)

\( x_2 = \frac{3\pi}{4} \)

Наименьший положительный корень — \( \frac{\pi}{4} \).

Ответ: \(\frac{\pi}{4}\)