6. (1 балл). Решите неравенство и ответ запишите в виде промежутков: \(\frac{2x^2+7x-4}{x+3}\) ≥ 0

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя:

\[ 2x^2 + 7x - 4 = 0 \]

\[ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 \]

\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \]

\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 \]

Корень знаменателя:

\[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \]

Разместим корни на числовой прямой: -4, -3, 0.5. Определим знаки на интервалах:

• \( (-\infty, -4] \): Возьмем \( x = -5 \). \( \frac{2(-5)^2 + 7(-5) - 4}{-5+3} = \frac{50 - 35 - 4}{-2} = \frac{11}{-2} < 0 \)
• \( [-4, -3) \): Возьмем \( x = -3,5 \). \( \frac{2(-3.5)^2 + 7(-3.5) - 4}{-3.5+3} = \frac{2(12.25) - 24.5 - 4}{-0.5} = \frac{24.5 - 24.5 - 4}{-0.5} = \frac{-4}{-0.5} > 0 \)
• \( (-3, 0.5] \): Возьмем \( x = 0 \). \( \frac{2(0)^2 + 7(0) - 4}{0+3} = \frac{-4}{3} < 0 \)
• \( [0.5, \infty) \): Возьмем \( x = 1 \). \( \frac{2(1)^2 + 7(1) - 4}{1+3} = \frac{2 + 7 - 4}{4} = \frac{5}{4} > 0 \)

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на интервалах \( [-4, -3) \) и \( [0.5, \infty) \).

Ответ: \( [-4; -3) \cup [0,5; +\infty) \)