6. (1 балл). Найти значение производной f(x) = (x-2)/(2x+4)

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = \frac{x-2}{2x+4} \) используем правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = x-2 \) и \( v = 2x+4 \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (x-2)' = 1 \)
• \( v' = (2x+4)' = 2 \)

Подставим в формулу:

• \( f'(x) = \frac{1 \cdot (2x+4) - (x-2) \cdot 2}{(2x+4)^2} \)
• \( f'(x) = \frac{2x+4 - (2x-4)}{(2x+4)^2} \)
• \( f'(x) = \frac{2x+4 - 2x+4}{(2x+4)^2} \)
• \( f'(x) = \frac{8}{(2x+4)^2} \)

Можно упростить знаменатель:

• \( (2x+4)^2 = (2(x+2))^2 = 4(x+2)^2 \)
• \( f'(x) = \frac{8}{4(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2} \)

Ответ: \( f'(x) = \frac{2}{(x+2)^2} \).