4. (1 балл). В треугольнике АВС угол C равен 90 градусов. АС=4. Sin A=3/5. CH- высота. Найдите СН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем гипотенузу AB. Из определения синуса угла A: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
   Из определения косинуса угла A: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).
   Мы знаем \( \sin A = 3/5 \). Так как \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), то \( \cos A = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5 \).
2. Найдем гипотенузу AB, используя AC и \( \cos A \):
   \( AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{4}{4/5} = 4 \times \frac{5}{4} = 5 \).
3. Найдем катет BC:
   \( BC = AB \cdot \sin A = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3 \).
4. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
   \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6 \)
   \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \)
5. Приравняем площади и найдем высоту CH:
   \( 6 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot CH \)
   \( CH = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \)

Ответ: 2.4.