№5. В треугольнике MNF известно, что ∠N =90°, ∠M=30°, отрезок FD- биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD=20 см.

Решение:

В треугольнике \( MNF \) имеем: \( ∠N = 90° \), \( ∠M = 30° \). Сумма углов треугольника равна \( 180° \), поэтому \( ∠F = 180° - 90° - 30° = 60° \).

\( FD \) — биссектриса угла \( ∠F \), значит, \( ∠DFN = ∠DFM = ∠F / 2 = 60° / 2 = 30° \).

Рассмотрим треугольник \( MFD \): \( ∠M = 30° \), \( ∠MFD = 30° \). Следовательно, треугольник \( MFD \) равнобедренный с основанием \( MD \), то есть \( MF = FD = 20 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( MNF \). Катет \( MN \) лежит против угла \( ∠F = 60° \). По теореме синусов:

\( \frac{MN}{\sin \angle F} = \frac{MF}{\sin \angle N} \)

\( \frac{MN}{\sin 60°} = \frac{20}{\sin 90°} \)

\( MN = \frac{20 ×  \sin 60°}{\sin 90°} = \frac{20 ×  \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = 10\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 10\sqrt{3} \) см.