№2. Найдите ∠4, если ∠1=138°, ∠2=42°, ∠3=75°.

Решение:

Угол \( \angle 1 \) и угол \( \angle KCB \) являются смежными. Значит, \( \angle KCB = 180° - \angle 1 = 180° - 138° = 42° \).

Угол \( \angle 2 = 42° \) и угол \( \angle KCB = 42° \) равны. Это означает, что \( BK \) — биссектриса угла \( \angle ABC \).

В треугольнике \( ABK \) сумма углов равна 180°. Угол \( \angle 3 = 75° \), угол \( \angle BAC = ? \), угол \( \angle AKB = ? \).

Угол \( \angle 4 \) и угол \( \angle AKB \) являются смежными. Значит, \( \angle AKB = 180° - \angle 4 \).

В треугольнике \( BKC \): \( \angle BKC = 180° - \angle KCB - \angle C = 180° - 42° - 75° = 63° \).

Тогда \( \angle AKB = 180° - \angle BKC = 180° - 63° = 117° \).

В треугольнике \( ABK \): \( \angle A = 180° - \angle 3 - \angle AKB = 180° - 75° - 117° = -12° \). Это невозможно.

Пересмотрим условие. Углы \( ∠1 \) и \( ∠2 \) обозначены на рисунке как углы треугольника. Угол \( ∠3 \) как угол треугольника. Угол \( ∠4 \) как внешний угол.

Рассмотрим треугольник \( BKC \). Сумма углов треугольника равна \( 180° \).

\( \angle BKC = 180° - \angle C - \angle 2 = 180° - 75° - 42° = 63° \).

Угол \( ∠4 \) и угол \( ∠BKC \) — смежные. Поэтому \( \angle 4 = 180° - \angle BKC = 180° - 63° = 117° \).

Ответ: \( ∠4 = 117° \).