5. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса АК. Докажите, что расстояние от точки К до прямой АВ равно отрезку СК.

Доказательство:

1. Шаг 1: Дано: Треугольник ABC, ∠C = 90°, AK — биссектриса.
   Доказать: Расстояние от K до AB равно CK.
2. Шаг 2: Построим перпендикуляр KD из точки K на AB. По условию, KD — расстояние от K до AB. Нужно доказать, что KD = CK.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники ACK и ADК.
   ∠C = 90°, ∠D = 90° (по построению KD ⊥ AB).
   AK — биссектриса ∠A, значит, ∠CAK = ∠DAK.
   AK — общая гипотенуза.
   По двум углам и общей гипотенузе, треугольники ACK и ADK равны (второй признак равенства прямоугольных треугольников, или просто по двум углам и стороне между ними).
4. Шаг 4: Из равенства треугольников ACK и ADK следует, что соответствующие стороны равны.
   CK = DK.
5. Шаг 5: Так как DK — это расстояние от точки K до прямой AB, а CK — отрезок, то доказано, что расстояние от точки K до прямой AB равно отрезку CK.

Что и требовалось доказать.