3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены высоты АК и СМ, ВМ = 8 см (рисунок). Найдите ВК.

Краткое пояснение:

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Однако, в данном случае, АК и СМ — высоты, а не обязательно медианы. Использование подобных треугольников или теоремы Пифагора может помочь в решении.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем условие и рисунок.
   Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Значит, AB = BC.
   AK ⊥ BC, CM ⊥ AB. BM = 8 см. Найти нужно BK.
2. Шаг 2: Рассматриваем треугольник ABM.
   В прямоугольном треугольнике ABM, BM = 8 см.
3. Шаг 3: Рассматриваем треугольник BKC.
   В прямоугольном треугольнике BKC, BC — гипотенуза.
4. Шаг 4: Рассматриваем треугольник BCM.
   В прямоугольном треугольнике BCM, CM — высота.
5. Шаг 5: Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. Высоты, опущенные на равные стороны, равны, то есть AK = CM.
6. Шаг 6: Рассмотрим прямоугольные треугольники AKC и AMC. Не можем использовать.
7. Шаг 7: Рассмотрим прямоугольные треугольники AKB и CMB.
   В этих треугольниках AB = CB (боковые стороны равнобедренного треугольника).
   ∠B — общий угол.
   Следовательно, треугольники AKB и CMB подобны по двум углам (прямой угол и общий угол B).
8. Шаг 8: Из подобия треугольников AKB и CMB следует пропорциональность сторон:
   $$\frac{AK}{CM} = \frac{AB}{CB} = \frac{BK}{BM}$$
   Так как AB = CB, то $$\frac{AB}{CB} = 1$$.
   Следовательно, $$\frac{BK}{BM} = 1$$.
   BK = BM.
9. Шаг 9: Подставляем известное значение BM.
   BK = 8 см.

Ответ: 8 см.