4. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 54 см, угол А равен 45°. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (180° - 90° - 45° = 45°). Это означает, что треугольник является равнобедренным, и катеты равны. Расстояние от точки C до гипотенузы AB — это высота, проведенная к гипотенузе.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем тип треугольника.
   Треугольник ABC — прямоугольный (∠C = 90°).
   Угол A = 45°.
   Угол B = 180° - 90° - 45° = 45°.
   Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с AC = BC.
2. Шаг 2: Находим длину катетов.
   Используем теорему Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$.
   Так как AC = BC, то $$2 \times AC^2 = AB^2$$.
   $$AC^2 = \frac{AB^2}{2} = \frac{54^2}{2} = \frac{2916}{2} = 1458$$.
   $$AC = \sqrt{1458} = \sqrt{729 \times 2} = 27\sqrt{2}$$ см.
   Значит, AC = BC = $$27\sqrt{2}$$ см.
3. Шаг 3: Находим высоту, проведенную к гипотенузе.
   Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
   1) $$S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times (27\sqrt{2}) \times (27\sqrt{2}) = \frac{1}{2} \times 27^2 \times 2 = 729$$ см².
   2) $$S = \frac{1}{2} \times AB \times h$$, где h — высота, проведенная к гипотенузе AB (расстояние от C до AB).
   $$729 = \frac{1}{2} \times 54 \times h$$.
   $$729 = 27 \times h$$.
   $$h = \frac{729}{27} = 27$$ см.

Ответ: 27 см.