5. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AC проведен серединный перпендикуляр. Точка пересечения этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 4 : 7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Решение:

Пусть \( O \) — середина гипотенузы \( AC \). Проведём серединный перпендикуляр к \( AC \), который пересекает катет \( BC \) в точке \( M \) и гипотенузу \( AC \) в точке \( O \). Так как \( OM \perp AC \), то \( \angle OMA = 90° \). По свойству серединного перпендикуляра, \( OA = OC = OM \). Поскольку \( OA = OC \) ( \( O \) — середина \( AC \) ), то \( OA = OC = OM \). Следовательно, \( \triangle OMA \) — равнобедренный, \( \angle OAM = \angle OMA = 90° \). Это невозможно, так как сумма углов треугольника 180°. Следовательно, серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает не катет, а продолжение катета, или условие задачи сформулировано неточно.

Переформулируем условие: серединный перпендикуляр к гипотенузе \( AC \) пересекает катет \( BC \) в точке \( M \). Отрезок \( AM \) делит угол \( \angle BAC \) в отношении 4:7. Это также противоречит условию, так как \( AM \) не может делить \( \angle BAC \).

Предположим, что серединный перпендикуляр к гипотенузе \( AC \) пересекает катет \( BC \) в точке \( M \). Тогда \( \triangle AMC \) — равнобедренный, так как \( OA = OC = OM \) ( \( O \) — середина \( AC \) и \( OM \perp AC \) ). Значит, \( \angle OMA = \angle OAM \). \( \angle OAM = \angle BAC \). В \( \triangle ABC \) \( \angle ABC = 90° \). Пусть \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle BCA = \gamma \). Тогда \( \alpha + \gamma = 90° \). \( \angle OAM = \alpha \). \( \angle OMA = \alpha \). \( \angle OCM = \angle BCA = \gamma \). \( \angle OMC = 180° - \angle OMA = 180° - \alpha \). В \( \triangle AMC \) сумма углов: \( \angle MAC + \angle ACM + \angle AMC = 180° \). \( \angle MAC = \angle BAC = \alpha \). \( \angle ACM = \gamma \). \( \angle AMC = 180° - \alpha \). \( \alpha + \gamma + 180° - \alpha = 180° \). \( \gamma + 180° = 180° \). \( \gamma = 0° \). Это невозможно.

Рассмотрим другой вариант: серединный перпендикуляр к гипотенузе \( AC \) пересекает катет \( AB \) в точке \( M \). Отрезок \( MC \) делит угол \( \angle ACB \) в отношении 4:7. Пусть \( \angle BCM \) : \( \angle MCA = 4 : 7 \). \( \angle ACB = \angle BCM + \angle MCA = 11x \). \( O \) — середина \( AC \). \( OM \perp AC \). \( \triangle OMA \) — равнобедренный, \( \angle OMA = \angle OAM = \angle BAC = \alpha \). \( \angle MCB = 4x \), \( \angle MCA = 7x \). \( \angle ACB = 11x \). В \( \triangle ABC \) \( \angle ABC = 90° \), \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle ACB = 11x \). \( \alpha + 11x = 90° \). \( \angle OMA = \alpha \). \( \angle OMC = 180° - \alpha \). В \( \triangle AMC \): \( \angle MAC = \alpha \), \( \angle MCA = 7x \), \( \angle AMC = 180° - \alpha \). \( \alpha + 7x + 180° - \alpha = 180° \). \( 7x = 0 \). Это также невозможно.

Перечитаем условие: «серединный перпендикуляр к гипотенузе АС проведен с катетом». Это неясно. Предположим, что серединный перпендикуляр к гипотенузе АС пересекает катет ВС в точке М. Отрезок AM делит угол BAC в отношении 4:7. Пусть \( \angle BAM = 4x \), \( \angle MAC = 7x \). Тогда \( \angle BAC = 11x \). \( O \) — середина \( AC \). \( OM \perp AC \). \( \triangle OMA \) — равнобедренный, \( \angle OMA = \angle OAM = \angle BAC = 11x \). \( \angle AMB = 180° - \angle OMA = 180° - 11x \). В \( \triangle ABM \): \( \angle ABM + \angle BAM + \angle AMB = 180° \). \( 90° + 4x + 180° - 11x = 180° \). \( 90° - 7x = 0 \). \( 7x = 90° \). \( x = \frac{90}{7}° \). \( \angle BAC = 11x = 11 \cdot \frac{90}{7} = \frac{990}{7}° \). Это больше 90°, что невозможно для угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим последнее возможное толкование: серединный перпендикуляр к гипотенузе \( AC \) пересекает катет \( BC \) в точке \( M \). Отрезок \( AM \) делит угол \( \angle BAC \) в некотором отношении. Угол \( \angle ACB \) делится на две части отрезком \( AM \) в отношении 4:7 (меньшая часть при катете \( BC \)). Пусть \( \angle BCM = 4x \), \( \angle MCA = 7x \). Тогда \( \angle ACB = 11x \). \( O \) — середина \( AC \). \( OM \perp AC \). \( \triangle OMA \) — равнобедренный, \( \angle OMA = \angle OAM \). \( \angle OAM = \angle BAC \). \( \angle BAC + \angle ACB = 90° \). \( \angle BAC + 11x = 90° \). \( \angle OMA = \angle BAC = 90° - 11x \). \( \angle OMC = 180° - \angle OMA = 180° - (90° - 11x) = 90° + 11x \). В \( \triangle AMC \): \( \angle MAC + \angle MCA + \angle AMC = 180° \). \( \angle BAC + 7x + 90° + 11x = 180° \). \( 90° - 11x + 7x + 90° + 11x = 180° \). \( 180° + 7x = 180° \). \( 7x = 0 \). Это невозможно.

Условие задачи, похоже, содержит ошибку или неоднозначность.

Ответ: Условие задачи содержит неоднозначность.